BÀI TOÁN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ THUẦN NHẤT CHỨA ĐẠO HÀM BẬC KHÔNG NGUYÊN VỚI DỮ LIỆU NHIỄU TRẮNG GAUSS
Nội dung chính của bài viết
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu bài toán giá trị cuối cho phương trình Helmholtz thuần nhất chứa đạo hàm bậc không nguyên trên miền Các quan sát tại thời điểm cuối được giả thiết bị nhiễu bởi nhiễu trắng Gauss. Do toán tử nghiệm chứa các nhân tử Fourier tăng theo hàm mũ, bài toán là không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Do đó, một phương pháp chặt cụt Fourier được đề xuất nhằm ổn định quá trình khôi phục nghiệm. Dưới các giả thiết về tính trơn kiểu Sobolev trên dữ liệu chính xác, cùng với hai điều kiện tiên nghiệm khác nhau trên nghiệm chính xác, chúng tôi thiết lập các ước lượng hội tụ cho kỳ vọng của sai số khôi phục. Trong không gian ta thu được tốc độ hội tụ kiểu logarit dưới một điều kiện có trọng số mũ yếu hơn, trong khi tốc độ hội tụ kiểu Hölder được thiết lập dưới một điều kiện nguồn dạng mũ mạnh hơn. Ngoài ra, một ước lượng trong không gian cũng được chứng minh.
Các kết quả cho thấy phương pháp chặt cụt Fourier cung cấp một sơ đồ chỉnh hóa đơn giản và hiệu quả cho bài toán ngược theo thời gian của phương trình Helmholtz chứa đạo hàm bậc không nguyên thuần nhất, khi các phép đo bị nhiễu trắng Gauss
Từ khóa
phương trình Helmholtz thuần nhất chứa đạo hàm bậc không nguyên, bài toán ngược, nhiễu trắng Gauss, phương pháp chặt cụt Fourier, chỉnh hóa, bài toán đặt không chỉnh
Chi tiết bài viết
Tài liệu tham khảo
D. Cassani, L. Vilasi and Y. Wang, Local versus nonlocal elliptic equations: short-long range field interactions, Advances in Nonlinear Analysis 10 (2021), 895–921.
H. W. Engl, M. Hanke and A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1996.
L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
C. L. Fu, X. T. Xiong and Z. Qian, Fourier regularization for a backward heat equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications 331 (2007), 472–480.
A. Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, 2nd ed., Springer, New York, 2011.
J. L. Lions and E. Magenes, Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications, Springer-Verlag, Berlin, 1972.
F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography, Wiley, Chichester, 1986.
G. Da Prato and J. Zabczyk, Stochastic Equations in Infinite Dimensions, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
X. T. Xiong, A regularization method for a Cauchy problem of the Helmholtz equation, Journal of Computational and Applied Mathematics 233(8), 1723-1732, 2009.
A. N. Tikhonov and V. Y. Arsenin, Solutions of Ill-Posed Problems, Winston & Sons, Washington, DC, 1977.
H. Triebel, Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1978.
H. Kekkonen, M. Lassas, S. Siltanen, Analysis of Regularized Inversion of Data Corrupted by White Gaussian Noise, Inverse Problems 30, 045009, 2014